Schur-Concavity of Rényi Heterogeneity

Abraham Nunes MD PhD MBA
Dalhousie University, Halifax, Nova Scotia, Canada

The Rényi heterogeneity of system X defined on state space 𝒳={1,2,..., n}, with probability distribution p=(Subscript[((Subscript[p, i])), i=1,2,...,n]) is

(Subscript[Π, q]) = ((((∑_(i=1)^n)(Subscript[p, i]^q)))^(1/(1-q)))

(Subscript[Π, 1])=(E^(-(∑_(i=1)^n)(Subscript[p, i])Log[(Subscript[p, i])]))

The Schur-Ostrowski criterion states that if f is a symmetric function and all first partial derivatives exist, then f is Schur-concave iff

((Subscript[x, i])-(Subscript[x, j]))(((∂f)/(∂(Subscript[x, i])))-((∂f)/(∂(Subscript[x, j])))) <0 ∀x ∈(ℝ^n)

holds for all 1≤i≠j<n

PROPOSITION 1 (Symmetry of Rényi Heterogeneity). Given a probability vector p=(Subscript[((Subscript[p, i])), i=1,2,…,n]) and permutation function σ:(SubPlus[ℤ])-> (SubPlus[ℤ]), the Rényi heterogeneity 

	(Subscript[Π, q])[p]=({{{, ({{(∑_(i=1)^n)(Subscript[𝟙, (Subscript[p, i])>0]), q=0}, {(e^(-(∑_(i=1)^n)(Subscript[p, i])log (Subscript[p, i]))), q=1}, {((((max_i) (Subscript[p, i])))^(-1)), q=∞}, {((((∑_(i=1)^n)(Subscript[p, i]^q)))^(1/(1-q))), Otherwise}})}}),

satisfies

	(Subscript[Π, q])[((Subscript[p, 1]), (Subscript[p, 2]), …, (Subscript[p, n]))]=(Subscript[Π, q])[((Subscript[p, σ(1)]), (Subscript[p, σ(2)]), …, (Subscript[p, σ(n)]))].

The proof trivially follows from the commutativity of addition.

PROPOSITION 2 (Differentiability). Given a probability vector p=(Subscript[((Subscript[p, i])), i=1,2,…,n]) and the Rényi heterogeneity 

	(Subscript[Π, q])[p]=({{{, ({{(∑_(i=1)^n)(Subscript[𝟙, (Subscript[p, i])>0]), q=0}, {(e^(-(∑_(i=1)^n)(Subscript[p, i])log (Subscript[p, i]))), q=1}, {((((max_i) (Subscript[p, i])))^(-1)), q=∞}, {((((∑_(i=1)^n)(Subscript[p, i]^q)))^(1/(1-q))), Otherwise}})}}),

we have that ∃ (∂_(Subscript[p, i]))(Subscript[Π, q]) (Subscript[∀, i]).

Proof.  At q∉{0,1,∞}, we have

((∂(Subscript[Π, q]))/(∂(Subscript[p, j])))=((q (Subscript[p, j]^(-1+q)) ((((∑_(i=1)^n)(Subscript[p, i]^q)))^(-1+(1/(1-q)))))/(1-q)).

derivq = D[(Subscript[Π, q]), (Subscript[p, j])]/. ((∑_(i=1)^n)q (KroneckerDeltaSeq[i,j]) (Subscript[p, i]^(-1+q)))-> (q (Subscript[p, j]^(-1+q)))

At q=0, we have

((∂(Subscript[Π, 0]))/(∂(Subscript[p, j])))=0.

derivq /. q->0

At q=1 we have

((∂(Subscript[Π, 1]))/(∂(Subscript[p, j])))=-(e^(-(∑_(i=1)^n)Log[(Subscript[p, i])] (Subscript[p, i]))) (1+Log[(Subscript[p, j])]).

D[(Subscript[Π, 1]), (Subscript[p, j])]/. (∑_(i=1)^n)((KroneckerDeltaSeq[i,j])+(KroneckerDeltaSeq[i,j]) Log[(Subscript[p, i])])->(1+Log[(Subscript[p, j])])

At q=∞ we have

((∂(Subscript[Π, ∞]))/(∂(Subscript[p, j])))=({{{, ({{-(1/(Subscript[p, j]^2)), (Subscript[p, j])≥ (Subscript[p, k]) ∀k∈{1,2,...,n}}, {0, Otherwise}})}})

renyidiff[q_][j_, m_:0]:=({{\[Piecewise], ({{0, q==0}, {-(E^(-(∑_(i=1)^n)Log[(Subscript[p, i])] (Subscript[p, i]))) (1+Log[(Subscript[p, j])]), q==1}, {-(1/(Subscript[p, j]^2)), (q==∞) && (j==m)}, {0, (q==∞) && (j≠m)}, {((q (Subscript[p, j]^(-1+q)) ((((∑_(i=1)^n)(Subscript[p, i]^q)))^(-1+(1/(1-q)))))/(1-q)), True}})}})

THEOREM (Schur-Concavity of Rényi Heterogeneity). The Rényi heterogeneity is Schur-concave.

Proof.

renyidiff[1][k, j]

Clear[renyidiff]

expr = ((Subscript[p, j+1])-(Subscript[p, j]))(renyidiff[q][j+1]-renyidiff[q][j]) ≤ 0

somax = FullSimplify[
ApplySides[(Subscript[p, j]^2) # + (Subscript[p, j]) &, ((Subscript[p, j]) - (Subscript[p, j+1]))(-(1/(Subscript[p, j]^2))) ≤ 0], 
, Assumptions->{1>(Subscript[p, j])>(Subscript[p, j+1])>0}]

so1 = FullSimplify[ApplySides[((#)/(E^((∑_(i=1)^n)Log[(Subscript[p, i])] (Subscript[p, i])))) &, FullSimplify[expr, Assumptions->q==1]]/. {
	(Log[(Subscript[p, j])]-Log[(Subscript[p, 1+j])])->Log[((Subscript[p, j])/(Subscript[p, j+1]))]
}, Assumptions->{1>(Subscript[p, j])>(Subscript[p, j+1])>0}]

so0 = FullSimplify[expr, Assumptions->q==0]

soq = ((Subscript[p, j])-(Subscript[p, k]))(((q (Subscript[p, j]^(q-1))((((∑_(i=1)^n)(Subscript[p, i]^q)))^(q/(1-q))))/(1-q))-((q (Subscript[p, k]^(q-1))((((∑_(i=1)^n)(Subscript[p, i]^q)))^(q/(1-q))))/(1-q))) ≤0

soq = FullSimplify[ApplySides[((#)/(q ((((∑_(i=1)^n)(Subscript[p, i]^q)))^(q/(1-q)))))&, soq], Assumptions->{1>(Subscript[p, j])>(Subscript[p, k])>0}]

soq = ApplySides[(# + (((Subscript[p, j]^q) (Subscript[p, k]))/(-1+q)))/((Subscript[p, j]) (Subscript[p, k]))&, soq /. ((-(Subscript[p, j]^q) (Subscript[p, k])+(Subscript[p, j]) (Subscript[p, k]^q))/(-1+q))-> (((Subscript[p, j]) (Subscript[p, k]^q))/(-1+q))-(((Subscript[p, j]^q) (Subscript[p, k]))/(-1+q))]

FullSimplify[
	ApplySides[# &,soq ], Assumptions->{
	(1/(Subscript[p, j]))<(1/(Subscript[p, k])), 1>(Subscript[p, j])>(Subscript[p, k])>0
}]