Schur-Concavity of Rényi Heterogeneity

Abraham Nunes MD PhD MBA
Dalhousie University, Halifax, Nova Scotia, Canada

The Rényi heterogeneity of system X defined on state space X={1,2,..., n}, with probability distribution RenyiSchur_1.png is

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The Schur-Ostrowski criterion states that if f is a symmetric function and all first partial derivatives exist, then f is Schur-concave iff

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holds for all 1≤i≠j<n

PROPOSITION 1 (Symmetry of Rényi Heterogeneity). Given a probability vector RenyiSchur_7.png and permutation function RenyiSchur_8.png, the Rényi heterogeneity

    RenyiSchur_9.png,

satisfies

    RenyiSchur_10.png.

The proof trivially follows from the commutativity of addition.

PROPOSITION 2 (Differentiability). Given a probability vector RenyiSchur_11.png and the Rényi heterogeneity

    RenyiSchur_12.png,

we have that ∃ RenyiSchur_13.png RenyiSchur_14.png.

Proof.  At q∉{0,1,∞}, we have

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At q=0, we have

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At q=1 we have

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At q=∞ we have

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THEOREM (Schur-Concavity of Rényi Heterogeneity). The Rényi heterogeneity is Schur-concave.

Proof.

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